PHÒNG GD &ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH VĂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán.
Thời gian: 150 phút.(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
a. Cho

1) Rút gọn M
2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
b. Tính giá trị của biểu thức P

với

Bài 2: (4 điểm)
a - Giải phương trình:

b - Tìm tất cả các số nguyên n sao cho
là một số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đường thẳng:
(m là tham số) (1)
Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
b) Chứng minh rằng: nếu a, b ,c là ba số thỏa mãn a + b +c = 2013 và
=
thì một trong ba số phải có một số bằng 2013
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O;
). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
a) Tính

b) Chứng minh:

c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
- Hết -
PHÒNG GD &ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH VĂN
ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài 1:
(4,5đ)
ĐKXĐ:
(*)
Rút gọn M: Với

8Vậy
(với
) (*) (2,5đ)
2)
(0,75đ)
Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi:

Ư(3)
Vì

Nên

Xảy ra các trường hợp sau: (0,5đ)
.
(TMĐK (*))
.

(không TMĐK (*) loại ) (0,25đ)
Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên.
b)

Có
(0,5đ)

(0,25đ)





(0,75đ)
Với x = 1.Ta có

Vậy với x = 1 thì P = 2014
Bài 2:
a_(2,5đ)

(1)
Ta có:
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
(1)

(3) ( 0,5đ)
Đặt
, với y ≥ 1. Suy ra

Thay vào (3):
(0,5đ)







* Với y = 1 thì x = 0 thỏa mãn phương trình.
* Với y ≠ 1 và y ≥ 1, ta có:
(4) (1đ)
Vì
và y > 1 thay vào vế trái của (4)

lớn hơn. (0,25đ)
Do đó (4) vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ)
b_ (1,5đ) Giả sử
(1) (0,5đ)
Suy ra (k + n) và (k – n) = 2k là số chẵn nên (k + n) và (k – n) cùng tính chẵn lẻ
Do 2014 là số chẵn nên (k + n) và (k – n) đều là số chẵn (0,5đ)


Khi đó từ (1) suy ra ta lại có
(điều này vô lí)
Vậy không có số nguyên n nào để
là số chính phương (0,5đ)
Bài 3:
a) (2đ) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng
đi qua điểm cố định
với mọi m là : (0,5đ)

với mọi m

với mọi m

với mọi m (0,75đ)

(0,5đ)
Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; 1) (0,25đ)
b) Điều kiện a, b, c
0
Từ
Suy ra ( bc +ac +ab ) ( a+